티호노프 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
4. 응용
- 4.1. 콤팩트성에 관한 정리
- 4.2. 기타 응용
5. 역사
참조

1. 개요

티호노프 정리는 콤팩트 공간들의 곱공간이 콤팩트 공간임을 나타내는 위상수학의 기본 정리이다. 이 정리는 곱 위상의 정의에 의존하며, 선택 공리와 밀접한 관련이 있다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서 티호노프 정리는 선택 공리와 동치이며, 다양한 증명 방법이 존재한다. 티호노프 정리는 바나흐-알라오글루 정리, 아르첼라-아스콜리 정리와 같은 콤팩트성에 관한 정리뿐만 아니라, 더브라윈-에르되시 정리, 커티스-헤들런드-린든 정리 등 다양한 분야의 정리를 증명하는 데 사용된다. 안드레이 티호노프에 의해 처음 증명되었으며, 앙리 카르탕과 니콜라 부르바키, 존 리로이 켈리, 폴 처노프 등 여러 수학자들이 증명에 기여했다.

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티호노프 정리
일반 정보
이름	티호노프 정리
로마자 표기	Tikhonov jeongni
분야	위상수학
증명	여러 가지 방법으로 증명 가능
내용
정리 내용	임의의 콤팩트 공간들의 곱은 콤팩트 공간이다.
중요성	위상수학에서 중요한 정리 중 하나
역사
이름의 유래	안드레이 니콜라예비치 티호노프의 이름을 딴 정리
발표 연도	1930년
관련 개념
관련 개념	콤팩트 공간, 위상 공간, 곱위상
응용
응용 분야	여러 수학 분야에서 응용됨. 함수해석학, 대수기하학 등.

2. 정의

티호노프 정리에 따르면, 콤팩트 공간들의 집합 $\{X_i\}_{i\in I}$ 의 곱공간

: $\prod_{i\in I}X_i$

는 콤팩트 공간이다.

티호노프 정리는 곱 위상의 정의에 결정적으로 의존하며, 1935년 티호노프의 논문에서 처음으로 곱 위상이 정의되었다.

만약 ''X'', ''Y''를 콤팩트 공간이라고 한다면, 그 직적 공간 ''X'' × ''Y''도 콤팩트하다. ''Λ'' 를 임의의 농도의 집합으로 하고, { ''X_λ'' }_{''λ ∈ Λ''} 를 임의 농도의 개수의 콤팩트 공간의 족으로 하면, 그 직적 공간 ''X'' = $\prod_{\lambda \in \Lambda}$ ''X_λ'' 도 콤팩트이다.

2. 1. 위상 공간에서의 정의

티호노프 정리에 따르면, 콤팩트 공간들의 집합

\{X_i\}_{i\in I}

의 곱공간

:

\prod_{i\in I}X_i

는 콤팩트 공간이다.

티호노프 정리는 곱 위상의 정의에 결정적으로 의존하며, 1935년 티호노프의 논문에서 처음으로 곱 위상이 정의되었다.

만약 ''X'', ''Y''를 콤팩트 공간이라고 한다면, 그 직적 공간 ''X'' × ''Y''도 콤팩트이다. ''Λ'' 를 임의의 농도의 집합으로 하고, { ''X_λ'' }_{''λ ∈ Λ''} 를 임의 농도의 개수의 콤팩트 공간의 족으로 하면, 그 직적 공간 ''X'' =

\prod_{\lambda \in \Lambda}

''X_λ'' 도 콤팩트이다.

2. 2. 선택 공리와의 관계

체르멜로-프렝켈 집합론에서 티호노프 정리는 선택 공리와 동치이다. 1950년에 켈리는 티호노프 정리가 체르멜로-프렝켈 집합론('''ZF''')에서 선택 공리를 함축한다는 것을 증명했다. 선택 공리의 한 공식화는 비어 있지 않은 집합들의 모임의 데카르트 곱이 비어 있지 않다는 것이다.

다음 명제들은 체르멜로-프렝켈 집합론에서 서로 동치이다.

콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 콤팩트 공간이다.
모든 필터는 극대 필터에 포함된다.
모든 그물은 극대 부분 그물을 가진다.

모든 필터가 극대 필터에 포함된다는 명제는 불 소 아이디얼 정리(BPI)와 동치이며, AC를 함축하지 않는다. ZF+BPI는 ZF보다 강하고 ZFC보다 약한 이론이다. 콤팩트 하우스도르프 공간의 곱의 콤팩트성은 (BPI)를 사용하여 증명할 수 있으며, 역도 성립한다. 다양한 제한된 종류의 공간에 대한 티호노프 정리의 강도를 연구하는 것은 집합론적 위상수학에서 활발히 연구되는 분야이다.

무점 위상수학에서 티호노프 정리의 유사성은 선택 공리의 어떤 형태도 요구하지 않는다.

2. 3. 무점 위상수학에서의 정의

장소에 대한 티호노프 정리는 선택 공리나 불 소 아이디얼 정리를 가정하지 않아도 성립한다.

3. 증명

앙리 카르탕이 제안하고 부르바키가 1937년에 개발한 필터를 통한 수렴 이론은 초필터 보조정리를 가정하여 증명을 쉽게 만든다. 어떤 사영 맵 아래에서 곱 공간의 초필터의 (필터에 의해 생성된) 이미지는 요인 공간의 초필터이며, 따라서 적어도 하나의 ''x_i''로 수렴한다. 그런 다음 원래의 초필터가 ''x'' = (''x_i'')로 수렴함을 보여준다. 멍크레스는 그의 교재에서 필터 이론적 언어나 예비 지식을 명시적으로 사용하지 않는 카르탕-부르바키 증명의 재작업을 제시한다.

마찬가지로, 켈리의 보편 넷의 개념으로 보완된 무어-스미스 넷을 통한 수렴 이론은 공간이 공간의 각 보편 넷이 수렴할 때만 콤팩트하다는 기준을 제시한다. 이 기준은 "초필터 기저" 대신 "보편 넷"의 반복적인 대체를 제외하고는 필터를 사용하는 카르탕/부르바키 증명과 단어 대 단어가 동일한 티호노프 정리의 증명(켈리, 1950)으로 이어진다.

Tychonoff^영어의 1930년 증명은 완비 집적점의 개념을 사용했다. 이 정리는 알렉산더 부분기저 정리의 빠른 따름정리이다.

이하의 증명에서는, 먼저 유한 개의 경우에 대해 증명하고, 이것을 선택 공리를 원용하여(본고에서는 실제로 이것과 동치인 정렬 가능 정리와 초른의 보조정리도 원용한다) 초한 귀납법에 의해 비가산 개의 경우를 포함한 무한 개의 직적의 경우까지 확장한다.

콤팩트라는 개념은 현재는 일반적으로 하이네-보렐의 덮개 정리에서 제창된 덮개라는 개념을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

''정의'' : 위상 공간 ''X'' 가 콤팩트하다는 것은, ''X'' 가 다음 명제를 만족하는 것이다.

''명제 1'' : 위상 공간 ''X'' 의 임의의 열린 덮개 $\mathcal{W}$ 에 대해, $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 ''X'' 를 덮는 것이 존재한다.

콤팩트 공간의 직적 공간이 이 명제를 만족하는 것을 직접 증명하는 것도 가능하지만, 이 명제의 대우인 다음 명제를 증명하는 편이, 유한의 경우의 증명법을 약간 변형하는 것만으로, 비가산 개의 경우까지 전망 좋게 확장을 수행할 수 있으므로, 본고의 증명도 그 방향에 따라 수행한다.

''명제 2'' : 위상 공간 ''X'' 의 임의의 열린 집합족 $\mathcal{W}$ 에 대해, 어떤 $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합도 ''X'' 를 덮지 않는다면, $\mathcal{W}$ 도 ''X'' 를 덮지 않는다.

(1) 직적 공간 ''X''의 열린 집합족 $\mathcal{W}$ 가 다음의 가정을 만족한다면, $\mathcal{W}$ 는 ''X''를 덮지 않으며, 즉 ''명제 2''가 성립함을 보인다.

''가정'' : $\mathcal{W}$ 의 임의의 유한 부분 집합도 ''X''를 덮지 않는다.

(2) 정렬 가능 정리에 의해 ''Λ''에는 정렬 순서 "≤"가 정의되어 있다고 한다. ''Λ''는 "≤"에 관하여 최소 원소를 가진다(이것을 ''λ₀''라고 한다). ''X'' = $\prod_{\lambda \in \Lambda}$ ''X_λ'' 의 직적은 정렬 순서로 수행되는 것으로 한다. 따라서, 무한 직적의 선두 공간은 ''X_λ₀''가 된다.

(3) ''Λ''의 원소 ''λ''에 따라 참과 거짓이 결정되는 두 개의 명제 함수 ''P'' (''λ'') 및 ''P ′''(''λ'')을 다음과 같이 정의한다.

:''P'' (''λ'') : ''Λ_λ'' = { ''ρ'' | ''ρ'' ≤ ''λ'' ∧ ''ρ'' ∈ ''Λ'' } 로 둔다. 다음과 같은 ''x'' : ''Λ_λ'' → $\bigcup_{\rho \in \Lambda_\lambda}$ ''X_ρ'' 가 존재한다(''x'' (''ρ'')를 ''x_ρ''로 표기한다). 모든 ''ρ'' ∈ ''Λ_λ''에 대해, ''x_ρ'' ∈ ''X_ρ''이며, ''X_ρ''의 임의의 열린 집합 ''U_ρ''가 ''x_ρ''를 포함하면, $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $(\prod_{\rho \le \lambda} U_\rho ) \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma )$ 를 덮는 것은 존재하지 않는다.

:''P ′''(''λ'') : ''Λ′_λ'' = { ''ρ'' | ''ρ'' < ''λ'' ∧ ''ρ'' ∈ ''Λ'' } 로 둔다. 다음과 같은 ''x ′'' : ''Λ ′_λ'' → $\bigcup_{\rho \in \Lambda^\prime_\lambda}$ ''X_ρ'' 가 존재한다. 모든 ''ρ'' ∈ ''Λ′_λ''에 대해, ''x ′_ρ'' ∈ ''X_ρ''이며, ''X_ρ''의 임의의 열린 집합 ''U_ρ''가 ''x ′_ρ''를 포함하면, $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $(\prod_{\rho < \lambda} U_\rho ) \times (\prod_{\lambda \le \sigma} X_\sigma )$ 를 덮는 것은 존재하지 않는다.

''보충'' : ''x'' : ''Λ_λ'' → $\bigcup_{\rho \in \Lambda_\lambda}$ ''X_ρ'' , ''x_ρ'' ∈ ''X_ρ''가 존재함을 주장하기 위해서는 선택 공리를 원용할 필요가 있다. ''x ′''에 대해서도 같다.

(4) ''P'' (''λ'')와 ''P ′''(''λ'')는 동치이다. 즉, ''Λ''의 임의의 원소 ''λ''에 대하여, ''P'' (''λ'')가 참이면 ''P ′''(''λ'')도 참이며, ''P ′''(''λ'')가 참이면 ''P'' (''λ'')도 참이다.

(5) ''P'' (''λ'') → ''P ′''(''λ'')의 증명

''P'' (''λ'')가 참이면 ''U_λ''를 ''X_λ''로 두어도, $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $(\prod_{\rho < \lambda} U_\rho) \times X_\lambda \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)$ 를 덮는 것은 존재하지 않는다. 따라서 ''P ′''(''λ'')는 참이다.

(6) ''P ′''(''λ'') → ''P'' (''λ'')의 증명

(6.1) 어떤 ''λ''에 대해 ''P ′''(''λ'')가 참이지만, ''P'' (''λ'')는 거짓이라고 가정한다. ''P'' (''λ'')가 거짓이란, 어떻게 ''x'' : ''Λ_λ'' → $\bigcup_{\rho \in \Lambda_\lambda}$ ''X_ρ'' , ''x_ρ'' ∈ ''X_ρ''를 선택하더라도, ''x_ρ''를 포함하는 ''X_ρ''의 열린 집합 ''U_ρ''가 존재하여, 어떤 $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $(\prod_{\rho \le \lambda} U_\rho) \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)$ 를 덮는 것이 존재함을 의미한다.

(6.2) ''x ′'' : ''Λ_λ'' → $\bigcup_{\rho < \lambda}$ ''X_ρ'' 는 명제 ''P ′''(''λ'')에서 존재가 보장되는 것으로 한다. ''X_λ''의 점을 임의로 선택하여 ''y''라고 둔다. ''x'' : ''Λ_λ'' → $\bigcup_{\rho \le \lambda}$ ''X_ρ'' 를, ''ρ'' ∈ ''Λ′_λ'' → ''x_ρ'' = ''x ′_ρ'', ''x_λ'' = ''y''로 정의한다. 이때 (6.1)에서, ''x_ρ''를 포함하는 ''X_ρ''의 열린 집합 ''U_ρ''가 존재하여, 어떤 $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $(\prod_{\rho \le \lambda} U_\rho) \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)$ 를 덮는 것이 존재한다.

(6.3) (6.2)는 다른 관점에서 보면, ''X_λ''의 모든 점 ''y''에 대해, ''y''를 포함하는 ''X_λ''의 열린 집합 ''U_{λ, y}''와, ''ρ'' < ''λ''인 모든 ''ρ'' ∈ ''Λ''에 대해, ''x′_ρ''를 포함하고 ''y''에 의존하여 결정되는 ''X_ρ''의 열린 집합 ''U_{ρ, y}''가 존재하여, $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $(\prod_{\rho < \lambda} U_{\rho, y}) \times U_{\lambda, y} \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)$ 를 덮는 것이 존재함을 의미한다.

(6.4) ''X_λ''는 콤팩트이므로, 이러한 ''U_{λ, y}''의 유한 개를 선택하여 ''X_λ''를 덮을 수 있다. 다른 말로 하면, ''X_λ''의 어떤 유한 부분 집합 ''F''가 존재하여, ''X_λ'' = $\bigcup_{y \in F}$ ''U_{λ, y}''가 될 수 있다. ''U_ρ'' = $\bigcap_{y \in F}$ ''U_{ρ, y}''로 두면, ''U_ρ''는 ''x_ρ''를 포함하는 ''X_ρ''의 열린 집합이며, ''F''에 포함된 각 ''y''에 대해 ''U_ρ'' ⊆ ''U_{ρ, y}''이다. $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $(\prod_{\rho < \lambda} U_{\rho, y}) \times U_{\lambda, y} \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)$ 를 덮는 것이 존재하므로, $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $(\prod_{\rho < \lambda} U_{\rho}) \times U_{\lambda, y} \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)$ 를 덮는 것이 존재한다.

(6.5) $\bigcup_{y \in F}$ $(\prod_{\rho < \lambda} U_{\rho}) \times U_{\lambda, y} \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)$ = $(\prod_{\rho < \lambda} U_{\rho}) \times X_{\lambda} \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)$ 이므로, $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $(\prod_{\rho < \lambda} U_\rho ) \times (\prod_{\lambda \le \sigma} X_\sigma )$ 를 덮는 것이 존재하게 되지만, 이는 ''P ′''(''λ'')가 거짓임을 의미하며, 모순이 발생한다. 따라서, ''P ′''(''λ'') → ''P'' (''λ'') 이다.

(7) ''주장'' : 임의의 ''ξ'' ∈ ''Λ′_λ'' = { ''ρ'' | ''ρ'' < ''λ'' ∧ ''ρ'' ∈ ''Λ'' } 에 대해 ''P'' (''ξ'')가 참이면, ''P'' (''λ'')도 참이다.

''증명'' :

(7.1) ''Λ′_λ''는 공집합이 아니라고 가정한다. (4)에서 ''ξ'' ∈ ''Λ′_λ''에 대해 ''P ′'' (''ξ'')는 참이다. 따라서, 초른의 보조정리로부터 ''Λ′_λ'' = $\bigcup_{\xi \in \Lambda^\prime_\lambda}$ ''Λ′_ξ'' 에 대해 다음과 같은 ''x ′'' : ''Λ ′_λ'' → $\bigcup_{\rho \in \Lambda^\prime_\lambda}$ ''X_ρ'' 가 존재한다고 말할 수 있다. 모든 ''ρ'' ∈ ''Λ′_λ''에 대해, ''x ′_ρ'' ∈ ''X_ρ''이며, ''X_ρ''의 임의의 열린 집합 ''U_ρ''가 ''x_ρ''를 포함하면, $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $(\prod_{\rho < \lambda} U_\rho ) \times (\prod_{\lambda \le \sigma} X_\sigma )$ 를 덮는 것은 존재하지 않는다. 따라서, ''P ′'' (''λ'')는 참이며, (6)에서 ''P'' (''λ'')도 참이다.

(7.2) ''Λ′_λ''가 공집합인 경우, ''λ'' = ''λ₀''이어야 한다. 이 경우의 증명은, 유한한 경우의 증명의 (2)와 거의 같으므로 생략한다.

(8) (7)의 ''주장''으로부터 초한 귀납법에 의해, 임의의 ''λ'' ∈ ''Λ''에 대해, ''P'' (''λ'')는 참이다. 따라서, 초른의 보조정리로부터 다음과 같은 ''x'' : ''Λ'' → $\bigcup_{\rho \in \Lambda}$ ''X_ρ'' 가 존재한다고 말할 수 있다. 모든 ''ρ'' ∈ ''Λ''에 대해, ''x_ρ'' ∈ ''X_ρ''이며, ''X_ρ''의 임의의 열린 집합 ''U_ρ''가 ''x_ρ''를 포함하면, $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 $\prod_{\rho \in \Lambda} U_\rho$ 를 덮는 것은 존재하지 않는다.

(9) ''보충'' : 곱위상의 정의에 의해 { ''X_λ'' }_{''λ ∈ Λ''} 의 모든 열린 집합의 직적이 이루는 집합족은, 직적 공간 ''X'' = $\prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$ 의 열린 집합족의 기저를 이룬다(이것을 $\mathcal{B}$ 로 한다). 위의 $\prod_{\rho \in \Lambda}$ ''U_ρ'' 는 $\mathcal{B}$ 의 원소이다. ''X''의 임의의 열린 집합 ''O''는 기저 $\mathcal{B}$ 의 적당한 부분 집합족의 합집합으로 정의된다. 즉, ''O'' = $\bigcup_{\lambda \in \Lambda}$ ''B_λ'' ( ''B_λ'' ∈ $\mathcal{B}$ )이다. 이것으로부터, ''O''와 그것에 포함된 임의의 점 ''x''에 대해, 어떤 ''B'' ∈ $\mathcal{B}$ 가 존재하여, ''x'' ∈ ''B'' ⊂ ''O''가 된다고 말할 수 있다.

(10) ''주장'' : (8)에서 존재가 증명된 ''x''는, 곱위상의 정의에 의해 ''X''의 점이지만, 이 점은 $\mathcal{W}$ 로 덮이지 않는다.

''증명'' : ''주장''이 옳지 않다고 가정하면, ''x''를 포함하는 $\mathcal{W}$ 의 원소가 적어도 하나 존재하므로, 그 중 하나를 ''W''라고 하면, ''보충''으로부터 ''x'' ∈ ''B'' ⊂ ''W''를 만족하는 ''B'' ∈ $\mathcal{B}$ 가 존재한다. 한편, (8)에서, ''B''가 ''x''를 포함하면, $\mathcal{W}$ 의 유한 부분 집합으로 ''B''를 덮는 것은 존재하지 않으므로 모순이다. 따라서, ''주장''이 옳게 된다.

(11) ''결론'' : 이상에 의해 ''가정''이 성립하면 $\mathcal{W}$ 는 ''X''를 덮지 않는다. 따라서, ''명제 2''가 성립하므로, ''X''는 콤팩트이다.

3. 1. 유한 곱의 경우

앙리 카르탕이 제안하고 부르바키가 1937년에 개발한 필터를 통한 수렴 이론은 초필터 보조정리를 가정하여 증명을 쉽게 만든다. 어떤 사영 맵 아래에서 곱 공간의 초필터의 (필터에 의해 생성된) 이미지는 요인 공간의 초필터이며, 따라서 적어도 하나의 ''x_i''로 수렴한다. 그런 다음 원래의 초필터가 ''x'' = (''x_i'')로 수렴함을 보여준다. 멍크레스는 그의 교재에서 필터 이론적 언어나 예비 지식을 명시적으로 사용하지 않는 카르탕-부르바키 증명의 재작업을 제시한다.

마찬가지로, 켈리의 보편 넷의 개념으로 보완된 무어-스미스 넷을 통한 수렴 이론은 공간이 공간의 각 보편 넷이 수렴할 때만 콤팩트하다는 기준을 제시한다. 이 기준은 "초필터 기저" 대신 "보편 넷"의 반복적인 대체를 제외하고는 필터를 사용하는 카르탕/부르바키 증명과 단어 대 단어가 동일한 티호노프 정리의 증명(켈리, 1950)으로 이어진다.

X × Y의 열린 집합족 W가 유한 부분집합으로 X × Y를 피복하지 않는다고 가정할 때, X의 점 x0이 존재하여 x0을 포함하는 임의의 열린 집합 U에 대해 W의 유한 부분집합으로 U × Y를 피복할 수 없다. Y의 점 y0이 존재하여 x0을 포함하는 X의 임의의 열린 집합 U와 y0을 포함하는 Y의 임의의 열린 집합 V에 대해 W의 유한 부분집합으로 U × V를 피복할 수 없다. x0, y0의 곱 (x0, y0)는 X × Y의 점이며, 이 점은 W로 피복되지 않는다. 따라서 X × Y는 콤팩트이다.

3. 2. 알렉산더 부분 기저 정리를 통한 증명

알렉산더 부분 기저 정리에 따르면, 부분 기저가 주어진 위상 공간이 콤팩트 공간일 필요충분조건은 부분 기저 속의 열린집합들로 구성된 모든 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는 것이다.

곱공간

\prod_{i\in I}X_i

는 표준적인 부분 기저

:

\mathcal S=\{\pi_i^{-1}(U_i)\colon i\in I,\;U_i\in\operatorname{Open}(X_i)\}

를 갖는다. 여기서

:

\pi_i\colon\prod_{j\in I}X_j\to X_i

는 곱공간에서 그

i

번째 성분으로 가는 사영 함수이다.

이제, 이 부분 기저의 부분 집합

\mathcal A\subseteq\mathcal S

가

\prod_{i\in I}X_i

의 덮개를 이루는 유한 부분 집합을 갖지 않는다고 가정하자. 그렇다면

\mathcal A

가

\prod_{i\in I}X_i

의 덮개가 아님을 보이는 것으로 족하다. 임의의

i\in I

에 대하여,

:

\mathcal U_i=\{U_i\in\operatorname{Open}(X_i)\colon\pi_i^{-1}(U_i)\in\mathcal A\}

의 모든 유한 부분 집합은

X_i

의 덮개가 아니며,

X_i

가 콤팩트 공간이므로

\mathcal U_i

는

X_i

의 덮개가 아니다. 선택 공리에 따라

:

\varnothing\subsetneq\prod_{i\in I}\left(X_i\setminus\bigcup\mathcal U_i\right)\subseteq\left(\prod_{i\in I}X_i\right)\setminus\left(\bigcup\mathcal A\right)

이다. 즉,

\mathcal A

는

\prod_{i\in I}X_i

의 덮개가 아니다.

3. 3. 극대 필터를 통한 증명

앙리 카르탕이 제시하고 부르바키가 발전시킨 필터의 수렴 이론을 사용하면 티호노프 정리를 증명할 수 있다. 어느 위상 공간이 콤팩트 공간임은 그 공간의 모든 극대 필터가 수렴함과 동치이다. 극대 필터에 연속 함수를 가한 필터는 다시 극대 필터이며, 특히 이 연속 함수는 곱공간에서 성분 공간으로 가는 사영으로 취할 수 있다. 마지막으로 곱공간 위의 필터가 수렴하는 것은 각 성분으로 사영한 필터들이 모두 수렴하는 것과 동치이다. 이러한 결과들을 통해 티호노프 정리를 증명할 수 있다.

곱공간

\prod_{i\in I}X_i

위의 임의의 극대 필터

\mathcal F

가 수렴함을 보이면 충분하다. 임의의

i\in I

에 대하여,

:

\pi_i(\mathcal F)={\uparrow\{\pi_i(F)\colon F\in\mathcal F\}}

는

X_i

위의 극대 필터이며 (

\uparrow

는 상폐포),

X_i

가 콤팩트 공간이므로 이는 어떤 점

x_i\in X_i

로 수렴한다. (

\pi_i(\mathcal F)

의 극한은 유일하지 않을 수 있으며, 각

i\in I

에 대하여 하나의 극한

x_i

를 취하는 것은 선택 공리를 필요로 한다.) 따라서

\mathcal F

는

:

x=(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i

로 수렴한다.

제임스 멍크레스의 위상수학 교과서에는 카르탕의 증명을 필터 이론의 용어를 사용하지 않도록 수정한 증명이 나와 있다.

3. 4. 극대 그물을 통한 증명

임의의 극대 그물

(x^d)_{d\in D}\subseteq\prod_{i\in I}X_i

가 수렴함을 보이면 충분하다. 임의의

i\in I

에 대하여,

(x^d_i)_{d\in D}

는

X_i

위의 극대 그물이며,

X_i

가 콤팩트 공간이므로

x^d_i\to x_i

인

x_i\in X_i

가 존재한다. 각 그물

(x^d_i)_{d\in D}

의 극한

x_i

를 취하는 데에는 선택 공리가 필요하다. 따라서

x^d\to x

이다.

3. 5. 그물의 집적점을 통한 증명

폴 처노프(Paul Chernoff)가 1992년에 발표한 증명은 그물의 부분 집적점(partial cluster point) 개념을 사용하여 티호노프 정리를 증명한다. 이 증명에서는 극대 부분 집적점의 존재를 보이고, 이 극대 부분 집적점이 사실 그물의 집적점임을 보인다.

곱공간

\prod_{i\in I}X_i

위의 임의의 그물

(x^d)_{d\in D}

가 집적점을 가짐을 보이는 것으로 충분하다.

S

를 다음과 같이 정의한다.

:

((x^d_i)_{i\in J})_{d\in D}

:

J\subseteq I

위 꼴의 그물들의 집적점

:

(x_i)_{i\in J}\in\prod_{i\in J}X_i

들의 집합이라고 하고,

S

위에 다음과 같은 부분 순서를 부여한다.

:

(x_i)_{i\in J}\le(y_i)_{i\in K}\iff J\subseteq K\land\forall i\in J\colon x_i=y_i

임의의 사슬

\{(x_i)_{i\in J}\colon J\in\mathcal J\}\subseteq S

에 대하여,

(x_i)_{i\in\bigcup\mathcal J}\in S

이며, 이는 사슬의 상계를 이룬다. 초른 보조정리에 따라,

S

는 극대 원소

(x_i)_{i\in J}\in S

를 갖는다.

이제

J=I

임을 보이면 충분하다. 귀류법을 사용하여,

k\in I\setminus J

라고 가정한다.

X_k

가 콤팩트 공간이므로 그물

(x^d_k)_{d\in D}

는 집적점

x_k\in X_k

를 갖는다. 그렇다면

(x_i)_{i\in J\cup\{k\}}

는

((x^d_i)_{i\in J\cup\{k\}})_{d\in D}

의 집적점이다. 따라서

(x_i)_{i\in J\cup\{k\}}\in S

이며

(x_i)_{i\in J\cup\{k\}}>(x_i)_{i\in J}

이다. 즉,

(x_i)_{i\in J}

는 극대 원소가 아니며, 이는 모순이다.

3. 6. 완비 집적점을 통한 증명

티호노프의 1930년 증명은 완비 집적점의 개념과 초한 귀납법을 사용한다. 콤팩트 공간은 모든 무한 집합이 완비 집적점을 가지는 공간과 동치라는 사실을 이용한다.

정렬 정리에 따라, 어떤 순서수

\alpha

에 대하여

I

가

\{\beta\colon\beta<\alpha\}

꼴의 집합이라고 가정할 수 있다. 이 때, 임의의 무한 집합

A\subseteq\prod_{\beta<\alpha}X_\beta

가 완비 집적점을 가짐을 보이면 충분하다. 이를 위해, 임의의

\beta<\alpha

에 대하여 다음 조건을 만족시키는

x_\beta\in X_\beta

를 찾는다.

임의의 근방 $U\ni(x_\gamma)_{\gamma\le\beta}$ 에 대하여, $\left|A\cap\left(U\times\prod_{\beta<\gamma<\alpha}X_\gamma\right)\right|=|A|$

초한 귀납법에 따라,

\beta<\alpha

이고

(x_\gamma)_{\gamma<\beta}\in\prod_{\gamma<\beta}X_\gamma

가 위 조건을 만족시킬 때, 위 조건을 만족시키는

x_\beta\in X_\beta

를 찾을 수 있음을 보인다. 귀류법을 사용하여, 임의의

y\in X_\beta

에 대하여 다음이 성립한다고 가정한다.

:

\left|A\cap\left(\prod_{\gamma\in J(y)}U_\gamma(y)\times\prod_{J(y)\not\ni\gamma<\beta}X_\gamma\times V(y)\times\prod_{\beta<\gamma<\alpha}X_\gamma\right)\right|<|A|

여기서

J(y)\subseteq\{\gamma\colon\gamma<\beta\}

는 유한 집합이고,

:

U_\gamma(y)\ni x_\gamma\qquad(\gamma\in J(y))

:

V(y)\ni y

이다.

\{V(y)\colon y\in X_\gamma\}

는 유한 부분 덮개

\{V(y_1),V(y_2),\dots,V(y_n)\}

를 갖는다.

:

\gamma=\sup\bigcup_{i=1}^nJ(y_i)<\beta

라고 하면,

:

U=\bigcap_{i=1}^n\left(\prod_{\delta\in J(y_i)}U_\delta(y_i)\times\prod_{J(y_i)\not\ni\delta<\beta}X_\delta\right)

는

(x_\delta)_{\delta\le\gamma}

의 근방이며

:

\left|A\cap\left(U\times\prod_{\gamma<\delta<\alpha}X_\delta\right)\right|<|A|

이다. 즉,

x_\gamma

는 위 조건을 만족시키지 않아 모순이 발생한다.

3. 7. 티호노프 정리가 선택 공리를 함의함의 증명

1950년에 존 리로이 켈리는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 티호노프 정리가 선택 공리를 함의함을 보였다. 즉 티호노프 정리는 모든 벡터 공간이 기저를 가진다는 명제처럼 선택 공리와 동치인 여러 기본적 명제 중 하나이다.

티호노프 정리를 사용해, 공집합이 아닌 집합들의 곱집합은 공집합이 아님을 보일 수 있다. 이 명제는 물론 선택 공리와 동치이다. 증명에서 가장 어려운 부분은 각 집합을 콤팩트하게 만드는 적당한 위상을 찾는 것인데, 여유한 위상을 약간 수정한 위상이 바로 그 역할을 한다. 티호노프 정리에 따라 곱공간도 콤팩트 공간이 되고, 유한 교차성을 이용하면 증명이 끝난다.

{''A_i''}가 공집합이 아닌 집합들의 첨수집합족이라고 하고, 각 ''i''는 첨수집합 ''I''에 속한다고 하자. 각 ''i''에 대해, 집합 ''A_i''와 {''i''}의 분리합집합을 ''X_i''라 한다. (이때 첨수를 적당히 바꿔서 ''i''가 ''A_i''의 원소가 아니게 할 수 있다. 그러면 단순히 ''X_i'' = ''A_i'' ∪ {''i''}이라고 생각해도 된다.)

이제 곱집합 ''X''를 다음과 같이 정의하고,

:

X = \prod_{i \in I} X_i

''X''의 각 원소를 그 ''i''번째 성분에 대응시키는 정사영 ''π_i''를 정의한다.

각 ''X_i''에 위상을 주는데, ''X_i''의 여유한 부분집합, 공집합, 그리고 한원소집합 {''i''}만이 열린집합이 되도록 한다. 그러면 ''X_i''는 콤팩트하고, 티호노프 정리에 따라 ''X''도 콤팩트하다. 정사영 ''π_i''는 연속이고, ''A_i''는 {''i''}의 여집합으로서 ''X_i''에서 닫힌집합이므로, 역상 π_''i''⁻¹(''A_i'')도 ''X''에서 닫힌집합이다. 이때

:

\prod_{i \in I} A_i = \bigcap_{i \in I} \pi_i^{-1}(A_i)

이다.

이제 각 역상이 공집합이 아니고 유한 교차성을 지님을 보인다. ''i₁'', ⋯, ''i_N''이 ''I''에 속한 유한 개의 첨수라 하자. 그러면 유한 곱 ''A_i₁'' × ⋯ × ''A_{i_N}''은 공집합이 아니다. (유한 곱이므로 선택 공리는 불필요하다.) ''a'' = (''a''₁, ⋯, ''a_N'')가 이 곱집합의 원소라 하자. 이제 ''a''를 전체 첨수집합으로 확장하여 함수 ''f''를 다음과 같이 정의한다.

:

f(j) = \begin{cases} a_k & \text{if } j = i_k, \\ j & \text{otherwise.} \end{cases}

(각 성분 공간에 한 점을 더한 이유가 바로 여기에 있다. ''X_j''에서 점 ''j''를 고르는 데는 선택 공리가 필요없으므로, ''X''의 한 점 ''f''를 선택 공리 없이 구성할 수 있는 것이다.) π_{''i_k''}(''f'') = ''a_k''는 물론 ''A_{i_k}''의 원소이므로, ''f''는 각 역상에 모두 속한다. 따라서, 다음을 얻는다.

:

\bigcap_{k = 1}^N \pi_{i_k}^{-1}(A_{i_k}) \neq \varnothing.

콤팩트 공간 ''X''의 닫힌 부분집합족 {π_''i''⁻¹(''A_i'')}_{''i'' ∈ ''I''}이 유한 교차성을 지니므로, 그 교집합은 공집합이 아니다. 이것으로 증명이 끝난다.

3. 8. 초한 귀납법을 이용한 증명 (비가산 무한 곱의 경우)

Tychonoff^영어의 1930년 증명은 완비 집적점의 개념을 사용했다. 이 정리는 알렉산더 부분기저 정리의 빠른 따름정리이다.

이하의 증명에서는, 먼저 유한 개의 경우에 대해 증명하고, 이것을 선택 공리를 원용하여(본고에서는 실제로 이것과 동치인 정렬 가능 정리와 초른의 보조정리도 원용한다) 초한 귀납법에 의해 비가산 개의 경우를 포함한 무한 개의 직적의 경우까지 확장한다.

콤팩트라는 개념은 현재는 일반적으로 하이네-보렐의 덮개 정리에서 제창된 덮개라는 개념을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

''정의'' : 위상 공간 ''X'' 가 콤팩트하다는 것은, ''X'' 가 다음 명제를 만족하는 것이다.

''명제 1'' : 위상 공간 ''X'' 의 임의의 열린 덮개

\mathcal{W}

에 대해,

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로 ''X'' 를 덮는 것이 존재한다.

콤팩트 공간의 직적 공간이 이 명제를 만족하는 것을 직접 증명하는 것도 가능하지만, 이 명제의 대우인 다음 명제를 증명하는 편이, 유한의 경우의 증명법을 약간 변형하는 것만으로, 비가산 개의 경우까지 전망 좋게 확장을 수행할 수 있으므로, 본고의 증명도 그 방향에 따라 수행한다.

''명제 2'' : 위상 공간 ''X'' 의 임의의 열린 집합족

\mathcal{W}

에 대해, 어떤

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합도 ''X'' 를 덮지 않는다면,

\mathcal{W}

도 ''X'' 를 덮지 않는다.

(1) 직적 공간 ''X''의 열린 집합족

\mathcal{W}

가 다음의 가정을 만족한다면,

\mathcal{W}

는 ''X''를 덮지 않으며, 즉 ''명제 2''가 성립함을 보인다.

''가정'' :

\mathcal{W}

의 임의의 유한 부분 집합도 ''X''를 덮지 않는다.

(2) 정렬 가능 정리에 의해 ''Λ''에는 정렬 순서 "≤"가 정의되어 있다고 한다. ''Λ''는 "≤"에 관하여 최소 원소를 가진다(이것을 ''λ₀''라고 한다). ''X'' =

\prod_{\lambda \in \Lambda}

''X_λ'' 의 직적은 정렬 순서로 수행되는 것으로 한다. 따라서, 무한 직적의 선두 공간은 ''X_λ₀''가 된다.

(3) ''Λ''의 원소 ''λ''에 따라 참과 거짓이 결정되는 두 개의 명제 함수 ''P'' (''λ'') 및 ''P ′''(''λ'')을 다음과 같이 정의한다.

:''P'' (''λ'') : ''Λ_λ'' = { ''ρ'' | ''ρ'' ≤ ''λ'' ∧ ''ρ'' ∈ ''Λ'' } 로 둔다. 다음과 같은 ''x'' : ''Λ_λ'' →

\bigcup_{\rho \in \Lambda_\lambda}

''X_ρ'' 가 존재한다(''x'' (''ρ'')를 ''x_ρ''로 표기한다). 모든 ''ρ'' ∈ ''Λ_λ''에 대해, ''x_ρ'' ∈ ''X_ρ''이며, ''X_ρ''의 임의의 열린 집합 ''U_ρ''가 ''x_ρ''를 포함하면,

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

(\prod_{\rho \le \lambda} U_\rho ) \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma )

를 덮는 것은 존재하지 않는다.

:''P ′''(''λ'') : ''Λ′_λ'' = { ''ρ'' | ''ρ'' < ''λ'' ∧ ''ρ'' ∈ ''Λ'' } 로 둔다. 다음과 같은 ''x ′'' : ''Λ ′_λ'' →

\bigcup_{\rho \in \Lambda^\prime_\lambda}

''X_ρ'' 가 존재한다. 모든 ''ρ'' ∈ ''Λ′_λ''에 대해, ''x ′_ρ'' ∈ ''X_ρ''이며, ''X_ρ''의 임의의 열린 집합 ''U_ρ''가 ''x ′_ρ''를 포함하면,

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

(\prod_{\rho < \lambda} U_\rho ) \times (\prod_{\lambda \le \sigma} X_\sigma )

를 덮는 것은 존재하지 않는다.

''보충'' : ''x'' : ''Λ_λ'' →

\bigcup_{\rho \in \Lambda_\lambda}

''X_ρ'' , ''x_ρ'' ∈ ''X_ρ''가 존재함을 주장하기 위해서는 선택 공리를 원용할 필요가 있다. ''x ′''에 대해서도 같다.

(4) ''P'' (''λ'')와 ''P ′''(''λ'')는 동치이다. 즉, ''Λ''의 임의의 원소 ''λ''에 대하여, ''P'' (''λ'')가 참이면 ''P ′''(''λ'')도 참이며, ''P ′''(''λ'')가 참이면 ''P'' (''λ'')도 참이다.

(5) ''P'' (''λ'') → ''P ′''(''λ'')의 증명

''P'' (''λ'')가 참이면 ''U_λ''를 ''X_λ''로 두어도,

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

(\prod_{\rho < \lambda} U_\rho) \times X_\lambda \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)

를 덮는 것은 존재하지 않는다. 따라서 ''P ′''(''λ'')는 참이다.

(6) ''P ′''(''λ'') → ''P'' (''λ'')의 증명

(6.1) 어떤 ''λ''에 대해 ''P ′''(''λ'')가 참이지만, ''P'' (''λ'')는 거짓이라고 가정한다. ''P'' (''λ'')가 거짓이란, 어떻게 ''x'' : ''Λ_λ'' →

\bigcup_{\rho \in \Lambda_\lambda}

''X_ρ'' , ''x_ρ'' ∈ ''X_ρ''를 선택하더라도, ''x_ρ''를 포함하는 ''X_ρ''의 열린 집합 ''U_ρ''가 존재하여, 어떤

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

(\prod_{\rho \le \lambda} U_\rho) \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)

를 덮는 것이 존재함을 의미한다.

(6.2) ''x ′'' : ''Λ_λ'' →

\bigcup_{\rho < \lambda}

''X_ρ'' 는 명제 ''P ′''(''λ'')에서 존재가 보장되는 것으로 한다. ''X_λ''의 점을 임의로 선택하여 ''y''라고 둔다. ''x'' : ''Λ_λ'' →

\bigcup_{\rho \le \lambda}

''X_ρ'' 를, ''ρ'' ∈ ''Λ′_λ'' → ''x_ρ'' = ''x ′_ρ'', ''x_λ'' = ''y''로 정의한다. 이때 (6.1)에서, ''x_ρ''를 포함하는 ''X_ρ''의 열린 집합 ''U_ρ''가 존재하여, 어떤

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

(\prod_{\rho \le \lambda} U_\rho) \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)

를 덮는 것이 존재한다.

(6.3) (6.2)는 다른 관점에서 보면, ''X_λ''의 모든 점 ''y''에 대해, ''y''를 포함하는 ''X_λ''의 열린 집합 ''U_{λ, y}''와, ''ρ'' < ''λ''인 모든 ''ρ'' ∈ ''Λ''에 대해, ''x′_ρ''를 포함하고 ''y''에 의존하여 결정되는 ''X_ρ''의 열린 집합 ''U_{ρ, y}''가 존재하여,

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

(\prod_{\rho < \lambda} U_{\rho, y}) \times U_{\lambda, y} \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)

를 덮는 것이 존재함을 의미한다.

(6.4) ''X_λ''는 콤팩트이므로, 이러한 ''U_{λ, y}''의 유한 개를 선택하여 ''X_λ''를 덮을 수 있다. 다른 말로 하면, ''X_λ''의 어떤 유한 부분 집합 ''F''가 존재하여, ''X_λ'' =

\bigcup_{y \in F}

''U_{λ, y}''가 될 수 있다. ''U_ρ'' =

\bigcap_{y \in F}

''U_{ρ, y}''로 두면, ''U_ρ''는 ''x_ρ''를 포함하는 ''X_ρ''의 열린 집합이며, ''F''에 포함된 각 ''y''에 대해 ''U_ρ'' ⊆ ''U_{ρ, y}''이다.

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

(\prod_{\rho < \lambda} U_{\rho, y}) \times U_{\lambda, y} \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)

를 덮는 것이 존재하므로,

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

(\prod_{\rho < \lambda} U_{\rho}) \times U_{\lambda, y} \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)

를 덮는 것이 존재한다.

(6.5)

\bigcup_{y \in F}

(\prod_{\rho < \lambda} U_{\rho}) \times U_{\lambda, y} \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)

=

(\prod_{\rho < \lambda} U_{\rho}) \times X_{\lambda} \times (\prod_{\lambda < \sigma} X_\sigma)

이므로,

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

(\prod_{\rho < \lambda} U_\rho ) \times (\prod_{\lambda \le \sigma} X_\sigma )

를 덮는 것이 존재하게 되지만, 이는 ''P ′''(''λ'')가 거짓임을 의미하며, 모순이 발생한다. 따라서, ''P ′''(''λ'') → ''P'' (''λ'') 이다.

(7) ''주장'' : 임의의 ''ξ'' ∈ ''Λ′_λ'' = { ''ρ'' | ''ρ'' < ''λ'' ∧ ''ρ'' ∈ ''Λ'' } 에 대해 ''P'' (''ξ'')가 참이면, ''P'' (''λ'')도 참이다.

''증명'' :

(7.1) ''Λ′_λ''는 공집합이 아니라고 가정한다. (4)에서 ''ξ'' ∈ ''Λ′_λ''에 대해 ''P ′'' (''ξ'')는 참이다. 따라서, 초른의 보조정리로부터 ''Λ′_λ'' =

\bigcup_{\xi \in \Lambda^\prime_\lambda}

''Λ′_ξ'' 에 대해 다음과 같은 ''x ′'' : ''Λ ′_λ'' →

\bigcup_{\rho \in \Lambda^\prime_\lambda}

''X_ρ'' 가 존재한다고 말할 수 있다. 모든 ''ρ'' ∈ ''Λ′_λ''에 대해, ''x ′_ρ'' ∈ ''X_ρ''이며, ''X_ρ''의 임의의 열린 집합 ''U_ρ''가 ''x_ρ''를 포함하면,

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

(\prod_{\rho < \lambda} U_\rho ) \times (\prod_{\lambda \le \sigma} X_\sigma )

를 덮는 것은 존재하지 않는다. 따라서, ''P ′'' (''λ'')는 참이며, (6)에서 ''P'' (''λ'')도 참이다.

(7.2) ''Λ′_λ''가 공집합인 경우, ''λ'' = ''λ₀''이어야 한다. 이 경우의 증명은, 유한한 경우의 증명의 (2)와 거의 같으므로 생략한다.

(8) (7)의 ''주장''으로부터 초한 귀납법에 의해, 임의의 ''λ'' ∈ ''Λ''에 대해, ''P'' (''λ'')는 참이다. 따라서, 초른의 보조정리로부터 다음과 같은 ''x'' : ''Λ'' →

\bigcup_{\rho \in \Lambda}

''X_ρ'' 가 존재한다고 말할 수 있다. 모든 ''ρ'' ∈ ''Λ''에 대해, ''x_ρ'' ∈ ''X_ρ''이며, ''X_ρ''의 임의의 열린 집합 ''U_ρ''가 ''x_ρ''를 포함하면,

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로

\prod_{\rho \in \Lambda} U_\rho

를 덮는 것은 존재하지 않는다.

(9) ''보충'' : 곱위상의 정의에 의해 { ''X_λ'' }_{''λ ∈ Λ''} 의 모든 열린 집합의 직적이 이루는 집합족은, 직적 공간 ''X'' =

\prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda

의 열린 집합족의 기저를 이룬다(이것을

\mathcal{B}

로 한다). 위의

\prod_{\rho \in \Lambda}

''U_ρ'' 는

\mathcal{B}

의 원소이다. ''X''의 임의의 열린 집합 ''O''는 기저

\mathcal{B}

의 적당한 부분 집합족의 합집합으로 정의된다. 즉, ''O'' =

\bigcup_{\lambda \in \Lambda}

''B_λ'' ( ''B_λ'' ∈

\mathcal{B}

)이다. 이것으로부터, ''O''와 그것에 포함된 임의의 점 ''x''에 대해, 어떤 ''B'' ∈

\mathcal{B}

가 존재하여, ''x'' ∈ ''B'' ⊂ ''O''가 된다고 말할 수 있다.

(10) ''주장'' : (8)에서 존재가 증명된 ''x''는, 곱위상의 정의에 의해 ''X''의 점이지만, 이 점은

\mathcal{W}

로 덮이지 않는다.

''증명'' : ''주장''이 옳지 않다고 가정하면, ''x''를 포함하는

\mathcal{W}

의 원소가 적어도 하나 존재하므로, 그 중 하나를 ''W''라고 하면, ''보충''으로부터 ''x'' ∈ ''B'' ⊂ ''W''를 만족하는 ''B'' ∈

\mathcal{B}

가 존재한다. 한편, (8)에서, ''B''가 ''x''를 포함하면,

\mathcal{W}

의 유한 부분 집합으로 ''B''를 덮는 것은 존재하지 않으므로 모순이다. 따라서, ''주장''이 옳게 된다.

(11) ''결론'' : 이상에 의해 ''가정''이 성립하면

\mathcal{W}

는 ''X''를 덮지 않는다. 따라서, ''명제 2''가 성립하므로, ''X''는 콤팩트이다.

4. 응용

티호노프 정리는 다른 여러 정리의 증명에 쓰인다. 그 중에는 노름 공간의 쌍대 공간의 단위공이 약한-* 위상에서 콤팩트하다는 바나흐-알라오글루 정리나, 함수열이 균등수렴하는 부분열을 가질 조건을 말하는 아르첼라-아스콜리 정리처럼 특정 공간의 콤팩트성에 관한 정리들이 있다. 또한 겉보기에 콤팩트성과 거리가 멀어 보이는 정리, 이를테면 모든 임계 그래프가 유한 그래프라는 더브라윈-에르되시 정리나 세포 자동자의 위상적 특징에 관한 커티스-헤들런드-린든 정리도 있다.

일반적으로, 단순한 대수적·대수위상적인 대상들을 가지고 콤팩트 공간을 구성할 때는 티호노프 정리가 쓰일 가능성이 크다. 예를 들어 가환 C* 대수의 극대 아이디얼들이 이루는 겔판트 공간, 불 대수의 극대 아이디얼들이 이루는 스톤 공간, 가환 바나흐 환의 베르코비치 스펙트럼 따위가 그렇다.

4. 1. 콤팩트성에 관한 정리

티호노프 정리는 다른 여러 정리의 증명에 쓰인다. 그 중에는 노름 공간의 쌍대 공간의 단위공이 약한-* 위상에서 콤팩트하다는 바나흐-알라오글루 정리나, 함수열이 균등수렴하는 부분열을 가질 조건을 말하는 아르첼라-아스콜리 정리처럼 특정 공간의 콤팩트성에 관한 정리들이 있다. 또한 겉보기에 콤팩트성과 거리가 멀어 보이는 정리, 이를테면 모든 임계 그래프가 유한 그래프라는 더브라윈-에르되시 정리나 세포 자동자의 위상적 특징에 관한 커티스-헤들런드-린든 정리도 있다.

일반적으로, 단순한 대수적·대수위상적인 대상들을 가지고 콤팩트 공간을 구성할 때는 티호노프 정리가 쓰일 가능성이 크다. 예를 들어 가환 C* 대수의 극대 아이디얼들이 이루는 겔판트 공간, 불 대수의 극대 아이디얼들이 이루는 스톤 공간, 가환 바나흐 환의 베르코비치 스펙트럼 따위가 그렇다.

4. 2. 기타 응용

티호노프 정리는 여러 정리의 증명에 사용된다. 노름 공간의 쌍대 공간의 단위공이 약한-* 위상에서 콤팩트하다는 바나흐-앨러오글루 정리나, 함수열이 균등수렴하는 부분열을 가질 조건을 설명하는 아르첼라-아스콜리 정리처럼 특정 공간의 콤팩트성에 관한 정리들이 있다. 모든 임계 그래프가 유한 그래프라는 더브라윈-에르되시 정리(그래프 이론)나 세포 자동자의 위상적 특징에 관한 커티스-헤들런드-린든 정리도 티호노프 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

단순한 대수적·대수위상적인 대상들을 가지고 콤팩트 공간을 구성할 때 티호노프 정리가 쓰이는 경우가 많다. 가환 C* 대수의 극대 아이디얼들이 이루는 겔판트 공간, 불 대수의 극대 아이디얼들이 이루는 스톤 공간, 가환 바나흐 환의 베르코비치 스펙트럼 등이 그 예이다.

5. 역사

1930년에 안드레이 티호노프가 닫힌 단위 구간의 곱에 대하여 티호노프 정리를 증명하였다. 1935년에 티호노프는 정리가 일반적인 경우에도 성립하며 그 증명은 단위 구간의 경우와 똑같다고 발표했다.

1937년에 앙리 카르탕이 필터를 이용한 증명을 제안하였고, 니콜라 부르바키가 이를 발전시켰다. 1950년에는 존 리로이 켈리가 티호노프 정리가 선택 공리를 함의함을 증명하였다. 1992년에는 폴 처노프가 그물의 집적점을 이용한 증명을 발표했다.

참조

_[1] 논문 Über einen Funktionraum
_[2] 서적 General Topology Dover
_[3] 논문 The Fuzzy Tychonoff Theorem 1973-09
_[4] 간행물 Proceedings of the American Mathematical Society
_[5] 웹사이트 Tychono's Theorem Ken Brown, Cornell University, October 2008 http://www.math.corn[...]

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